①依题意，设双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）

椭圆C₁的离心率为

2

4

=

1

2

，焦点为F（±2，0），

所以

c=2 c a =2

，

解得a=1，c=2，b=

c2-a2

=

3

．

②椭圆C₁的顶点为A（±4，0）、B(0，±2

3

)，双曲线C₂的顶点为M（±1，0），椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N（±2，±3），|ON|=

13

．

所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，

当且仅当1＜r＜2

3

或r=

13

或r＞4．

直线y=±x与椭圆C₁的交点为P(±

4 3

7

，±

4 3

7

)，|OP|=

4 6

7

，

因为2

3

＜

4 6

7

＜4，且

4 6

7

≠

13

，

所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C₁、C₂的交点不只四个，不合要求．

直线y=±x与双曲线C₂的交点为Q(±

3

2

，±

3

2

)，|OQ|=

3

，1＜

3

＜2

3

，符合要求，

即r=

3

时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．