问题
解答题
定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(
（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数； （2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）证明：f(
)-x1+x2 2
[f(x1)+f(x2)]1 2
=a(
)2+x1+x2 2
-x1+x2 2
(a1 2
+x1+ax 21
+x2)x 22
=-a(
)2，x1-x2 2
又a＜0，故f(
)≥x1+x2 2
[f(x1)+f(x2)]，1 2
所以当a＜0时，函数f（x）是凸函数，命题得证．----------（5分）
（2）∵对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴a≥-(
)2-1 x
在（0，1]上恒成立，1 x
即a≥[-(
)2-1 x
] max=2则a≥-2，------（8分）1 x
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------（10分）