问题
解答题
已知△ABC中，满足
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围． （2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围． |
答案
（1）∵
2=AB
•AB
+AC
•BA
+BC
•CA
=CB
•（AB
-AC
）+BC
•CA
=CB
2+AB
•CA
，CB
∴
•CA
=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．CB
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
sin(A+2
)∈(1，π 4
]．（5分）2
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) abc
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=
[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+1 c3sinAcosA
．（8分）sinA+cosA+1 sinAcosA
令t=sinA+cosA(t∈(1，
])，则f(t)=t+2
=t-1+t+1 t2-1 2
+1，2 t-1
∴当t=
时，f(t)min=32
+2，（11分） 故 k∈[ 32
+2 ，+∞)． （12分）2