问题 解答题
已知,点C在以AB为直径的半圆上,∠CAB的平分线AD交BC于点D,⊙O经过A、D两点,且圆心O在AB上.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若
AC
AB
=
1
4
BC=4
5
,求⊙O的面积.
答案

(1)连接OD.

∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,

∵OA=OD,

∴∠ODA=∠OAD,

∵AD平分∠CAB,

∴∠OAD=∠CAD,

∴∠ODA=∠CAD,

∴ODAC,

∴∠ODB=∠ACB=90°,

∴BD是⊙O的切线.

(2)∵

AC
AB
=
1
4

∴AB=4AC,

∵BC2=AB2-AC2

∴15AC2=80,

∴AC=

16
3

∴AB=4

16
3

设⊙O的半径为r,

∵ODAC,

∴△BOD△BAC,

OB
AB
=
OD
AC

4
16
4
-r
4
16
3
=
r
16
3
,解得:r=
16
3
15

∴πr2=π•(

16
3
15
2=
256
75
π

∴⊙O的面积为

256
75
π.

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