参考答案：

[分析]： 结论可改写为

.由于

，又f(x)连续地从f(0)=0变到f(1)=1，从而存在C∈(0，1)使得

，结论又可改写为

，再把f(0)=0与f(1)=1用上，上式就可改写成

这提示我们在使

的c处分割区间[0，1]，然后分别在[0，c]与[c，1]上应用拉格朗日中值定理．
[证明]因f(0)=0，f(1)=1，又

，从而

是f(z)的值域[0，1]内的一点．由连续函数的性质知

使

分别在区间[0，c]与[c，1]上对f(x)应用拉格朗日中值定理即知：

使得
f(c)-f(0)=f’(ζ)(c-0)=cf’(ζ)， (*)
又

使得
f(1)-f(c)=f’(η)(1-c)=(1-c)f’(η)， (**)
把f(0)=0与f(1)=1以及

代入(*)与(**)，分别得到

从而