已知在等差数列{an}中，d＞0，a2008、a2009是方程x2-3x-5=0

问题填空题

已知在等差数列{a_n}中，d＞0，a₂₀₀₈、a₂₀₀₉是方程x²-3x-5=0的两个根，那么使得前n项和S_n＜0的最大的n值是．

答案

∵在等差数列{a_n}中，d＞0，a₂₀₀₈、a₂₀₀₉是方程x²-3x-5=0的两个根

∴a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3＞0，a₂₀₀₈a₂₀₀₉=-5＜0，d＞0

∴a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₀₈＜0，∴a₁+a₄₀₁₆＞0，a₁+a₄₀₁₅＜0，

∴

4016(a1+a4016)

＞0，

4015(a1+a4015 )

＜0，∴S₄₀₁₆＞0，S₄₀₁₅＜0．

故使得前n项和S_n＜0的最大的n值是4015．

故答案为：4015．