问题
解答题
已知抛物线y2=4ax（0＜a＜1=的焦点为F，以A（a+4，0）为圆心，|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）是否存在这样的a值，使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
答案
（1）F（a，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），
由 {，
，消去y，得y2=4ax (x-a-4)2+y2=16
⇒x2+2（a-4）x+（a2+8a）=0，
∵△＞0，∴x1+x2=2（4-a），
∴|MF|+|NF|=（x1+a）+（x2+a）=8．
（2）假设存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列，即2|PF|=|MF|+|NF|⇒|PF|=4x0=4-a，
∴(x0-a)2+y02=16⇒(4-2a)2+y02=16⇒y02=16a-4a2
又y02=(
)2=y1+y2 2 y12+y22+2y1y2 4
=
=a(x1+x2)+2a4ax1+4ax2+2 4ax1 4ax2 4 x1x2
=2a(4-a)+2a
⇒a2+8a
2a(4-a)+2a
=16a-4a2⇒a=2，a2+8a
与
⇒0＜a＜1矛盾．△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0 y02＞0
∴假设不成立．
即不存在a值，使的|MF|，|PF|，|NF|成等差数列．