问题
解答题
已知数列{an}中，a1=
（1）令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
|
答案
（1）证明：∵点（n，2an+1-an）在直线y=x上，∴2an+1-an=n
∵bn=an+1-an-1，∴2bn+1=an+1-an-1=bn，
∵a1=
，2an+1-an=n1 2
∴a2=
，3 4
∴b1=a2-a1-1=-
≠03 4
∴{bn}为等比数列；
（2）an+1-an=1+bn=1-
×(3 4
)n-11 2
叠加可得：an=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=n-2+3×(
)n1 2
（3）存在λ=2，使数列{
}是等差数列．Sn+λTn n
Sn=
+3[1-(n(n-3) 2
)n]，Tn=1 2
[(3 2
)n-1]1 2
∴
=S1+λT1 1
-1 2
λ，3 4
=S2+λT2 2
，10-9λ 16
=S3+λT3 3 42-21λ 48
数列{
}是等差数列Sn+λTn n
∴2×
=10-9λ 16
-1 2
λ+3 4
，∴λ=242-21λ 48
当λ=2时，
=Sn+λTn n
，数列是等差数列n-3 2
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．