问题
问答题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＜0，x0∈[a，b]，证明：
f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x-x0)，
等号成立当且仅当x=x0，并证明f(x)在(a，b)内是上凸的函数；
(Ⅱ) 设f(x)∈C[0，1]且f(x)＞0，证明：[*]．
答案
参考答案：(Ⅰ) 由泰勒公式得
[*]，其中ξ位于x0与x之间．
因为f"(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0．
任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，取[*]，因为f"(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0，于是
[*]
两式相加得[*]，由凹凸性定义得f(x)在(a，b)内是上凸的函数．
(Ⅱ) 令φ(t)=lnt，取[*]，因为[*]，所以φ(t)＜φ(t0)+φ’(t0)(t-t0)，于是φ[f(x)]＜φ(t0)+φ’(t0)[f(x)-t0]，两边积分得[*]．