问题
解答题
已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f(x)=
（1）求f（x）的解析式； （2）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． |
答案
（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f(-x)=
-2-x，-x 3
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(x)=
+2-x，x 3
综上所述f(x)=
．
-2xx 3 (x＞0) 0 (x=0)
+2-xx 3 (x＜0)
（2）∵f(1)=-
＜f(0)=0，5 3
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，
得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
又∵f（x）是减函数，
∴t2-2t＞k-2t2
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-
即为所求．1 3