问题
问答题
设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形[*]，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T．
(Ⅰ) 求矩阵A；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．
答案
参考答案：(Ⅰ) 显然A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=-1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=-2，μ3=-2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，-1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量．
令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=-1，λ3=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2-x3=0，于是λ2=-1，λ3=-1对应的线性无关的特征向量为[*]
[*]
[*]
再令[*]