问题
问答题
设f(x)在[0，1]上可微，且[*]．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．
答案
参考答案：
[分析]： 由f’(x)=2xf(x)得[*]，从而[lnf(x)]’+(-x2)’=0，进一步得[-lnf(x)]’+[*]=0，于是[*]，故可设辅助函数为[*]．
令[*]，显然φ(x)在[0，1]上可微，由积分中值定理得
[*]
其中[*]，于是φ(c)=φ(l)．
由罗尔定理，存在[*]，使得φ’(ξ)=0．而[*]，所以[*]，注意到[*]，故f’(ξ)-2ξf(ξ)=0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．