问题
问答题
设4维向量组α1=(1+t，1，1，1)T，α2=(2，2+t，2，2)T，α3=(3，3，3+t，3)T，α4=(4，4，4，4+t)T．
(1)t为何值时α1，α2，α3，α4线性相关
(2)当α1，α2，α3，α4线性相关时，求它的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示，
答案
参考答案：记A=(α1，α2，α3，α4)对A作初等行变换，有
[*]
(i)当t=0时，r(A)=1，从而α1，α2，α3，α4线性相关，此时α1是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且
α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．
(ii)当t≠0时，对矩阵B再进行初等行变换，有
[*]
①如果[*]，则r(C)=r(A)=4，α1，α2，α3，α4线性无关．
②如果t=-10，则r(C)=r(A)=3，α1，α2，α3，α4线性相关，此时由于γ2，γ3，γ4是γ1，γ2，γ3，γ4的一个极大线性无关组且γ1=-γ2-γ3-γ4，所以α2，α3，α4是α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组且α1=-α2-α3-α4．
注：此题也可先算|A|=(t+10)t3，然后分情况讨论．
[考点] 含有参数的向量组线性相关性，极大线性无关组