（I）由题意，可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，

其中c=

5

，2a=4，

∴b=1，

∴曲线E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)．

（II）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），

由

y2 4 -x2=1 y=k(x+1)

，得(1-

4

k2

)y2+

8

k

y-8=0，

当1-

4

k2

=0，即k=±2时，显然不符合题意，

∴1-

4

k2

≠0．

∴

△=32- 64 k2 ＞0 y1+y1= 8k 4-k2 ＞0 y1•y2= 8k2 4-k2 ＞0

，

解得

2

＜k＜2．

∵x1•x2=

y1•y2

k2

-

y1+y2

k

+1=1，

∴

OQ

•

OR

=x1x2+y1y2

=1+

8k2

4-k2

=1-

8(k2-4)+32

k2-4

=-7+

32

4-k2

．

∵

2

＜k＜2，

∴0＜4-k²＜2，

∴

1

4-k2

＞

1

2

，

∴

OQ

•

OR

∈(9，+∞)．

（III）（文科做）∵曲线E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，

∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．

∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，

∴点P必内分线段AB，

故点A，B均在x轴上方，

不妨设x_A＞0，x_B＜0，

即A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），

由

AP

=λ

PB

，得P点的坐标为（

xA+λxb

1+λ

，

2(xA-λxB)

1+λ

），

将P点坐标代入

y2

4

-x2=1中，

化简，得xA•xB=

(1+λ)2

-4λ

=-

1

4

(λ+

1

λ

+2)．

∴|xA•xB|=

1

4

(λ+

1

λ

+2)，λ∈[

1

3

，2]

∵λ+

1

λ

≥2，当且仅当λ=1时，等号成立．

∴|x_A•x_B|_min=1．

（理科做））∵曲线E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，

∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x．

∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，

∴点P必内分线段AB，

故点A，B均在x轴上方，

设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．

由

AP

=λ

PB

，得点P的坐标为（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

）．

将点P的从标代入

y2

4

-x2=1中，

化简，得mn=

(1+λ)2

4λ

．

设∠AOB=2θ，

∵tan(

π

2

-θ)=2，

∴tanθ=

1

2

，sin2θ=

4

5

，

∵|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，

∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ

=2mn

=

1

2

(λ+

1

λ

)+1．

∵λ∈[

1

3

，2]，

∴λ+

1

λ

∈[2，

10

3

]，

∴S△AOB∈ [2，

8

3

]．

∴△ABC面积的最大值为

8

3

．