问题
解答题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（1）求角B的值；
（2）若b=5，求△ABC周长的取值范围．
答案
（1）因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以acosC+ccosA=2bcosB，（2分）
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin（A+C）=sinB=2sinBcosB．
因为sinB≠0，∴cosB=
，又0＜B＜π，所以B=1 2
．（6分）π 3
（2）∵
=a sinA
=b sin π 3
，10 3
∴a=
sinA，10 3
同理c=
sinC，10 3
因为B=
，所以A+C=π 3
，2π 3
所以△ABC周长=a+b+c
=5+
sinC+10 3
sinA10 3
=5+
sin(10 3
-A)+2π 3
sinA10 3
=5+5cosA+5
sinA3
=5+10sin(A+
)（12分）π 6
因为0＜A＜
，所以2π 3
＜A+π 6
＜π 6
，5π 6
所以△ABC周长的取值范围为（10，15]．（14分）