（Ⅰ）由题意得：f(-1)=1-

1-m

2

，f(1)=1-

1+m

2

函数为偶函数，所以f（-1）=f（1），解得m=0

检验：当m=0时，f(x)=log2(1+x4)-

1

1+x2

，f（-x）=f（x）成立，函数为偶函数

函数在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数

（Ⅱ）由（1）的单调性，可得f（x+k）＞f（|3x+1|）等价于x+k＞|3x+1|≥0或x+k＜-|3x+1|＜0，

转化为（x+k）²＞（3x+1）²成立，因式分解为（4x+k+1）（2x-k+1）＜0

讨论①当k=

1

3

时，不等式的解集为空集；

②当k＜

1

3

时，

k-1

2

＜

-k-1

4

，不等式的解集为（

k-1

2

，

-k-1

4

）；

③当k＞

1

3

时，

k-1

2

＞

-k-1

4

，不等式的解集为（

-k-1

4

，

k-1

2

）

综上所述，当k=-

1

3

时，不等式的解集为空集；当k＜

1

3

时，不等式的解集为（

k-1

2

，

-k-1

4

）；

当k＞

1

3

时，不等式的解集为（

-k-1

4

，

k-1

2

）．