问题
解答题
已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．
（1）求椭圆方程；
（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200，求tan∠F1PF2的值；
（3）设A是椭圆的右顶点，在椭圆上是否存在点M（不同于点A），使∠F1MA=90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1，则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2•2t，∴a=2t，b2=a2-c2=3t2，y2 b2
所以所求椭圆方程为
+x2 4t2
=1．y2 3t2
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则
=d 22
+|F1F2|2-2d1|F1F2|cos1200d 21 d1+d2=4t.
解方程组，得d1=
t，d2=6 5
t．14 5
由正弦定理，得
=2t sin∠F1PF2
，∴sin∠F1PF2=14t 5 sin1200
，∴tan∠F1PF2=5 3 14
．5 3 11
（3）若椭圆上存在一点M（x1，y1），使∠F1MA=90°，则|MF1|2+|MA|2=|AF1|2，即（x1+t）2+y12+（x1-2t）2+y12=（2t+t）2．
化简，得 x12+y12-tx1-2t2=0①
又 3t2x12+4t2y12=12t4②
由①、②，整理，得 x12-4tx1+4t2=0’，∴x1=2t，y1=0，
所以点M与右顶点A重合，矛盾．所以这样的M点是不存在的．