（先看必要性）∵函数f(x)=

∴f（-x）=-f（x）

∴|x+1|-1=x，即x≥-1

而奇函数的定义域关于原点对称

∴函数f（x）的定义域为[-a，0）∪（0，a]⊆[-1，0）∪（0，1]

∴0＜a≤1

（再看充分性）∵0＜a≤1

而a-x²≥0

∴x²≤a≤1

∴-1≤x≤1且x≠0

∴|x+1|-1=x∴f(x)=

∴f（x）为奇函数

故选B