问题 解答题

已知函数f(x)=x2+2x+alnxa∈R.

①当a=-4时,求f(x)的最小值;

②若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围;

③当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.

答案

①∵f(x)=x2+2x-4lnx(x>0)

f′(x)=2x+2-

4
x
=
2(x+2)(x-1)
x
(2分)

当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0

∴f(x)在(0,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增

∴f(x)min=f(1)=3(4分)

f′(x)=2x+2+

a
x
=
2x2+2x+a
x
(5分)

若f(x)在(0,1)上单调增,则2x2+2x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立⇒a≥-2x2-2x恒成立

令u=-2x2-2x,x∈(0,1),则u=-2(x+

1
2
)2+
1
2
,umax=0

∴a≥0(7分)

若f(x)在(0,1)上单调减,则2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)上恒成立⇒a≤[-2x2-2x]min=-4

综上,a的取值范围是:(-∞,-4]∪[0,+∞)(9分)

③(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2alnt-3恒成立a[ln(2t-1)-2lnt]≥-2t2+4t-2⇒a[ln(2t-1)-lnt2]≥2[(2t-1)-t2](10分)

当t=1时,不等式显然成立

当t>1时,⇒a≤

2[(2t-1)-t2]
ln(2t-1)-lnt2
在t>1时恒成立(11分)

u=

2[(2t-1)-t2]
ln(2t-1)-lnt2
,即求u的最小值

设A(t2,lnt2),B(2t-1,ln(2t-1)),kAB=

ln(2t-1)-lnt2
(2t-1)-t2

且A、B两点在y=lnx的图象上,又∵t2>1,2t-1>1,故0<kAB<y'|x=1=1

u=2•

1
k
>2,故a≤2

即实数a的取值范围为(-∞,2](14分)

阅读理解与欣赏

阅读下文,完成文后各题。

  然则古之所谓正心而诚意者,将以有为也。今也欲治其心,而外天下国家,灭其天常,子焉而不父其父,臣焉而不君其君,民焉而不事其事。孔子之作《春秋》也,诸侯用夷礼,则夷之;进于中国,则中国之。《经》曰:“夷狄之有君,不如诸夏之亡。”《诗》曰:“戎狄是膺,荆舒是惩。”今也举夷狄之法,而加之先王之教之上,几何其不胥而为夷也!

  夫所谓先王之教者,何也?博爱之谓仁,行而宜之之谓义,由是而之焉之谓道,足乎己无待于外之谓德。其文,《诗》《书》《易》《春秋》;其法,礼乐刑政;其民,士农工贾;其位,君臣父子师友宾主昆弟夫妇;其服,丝麻;其居,宫室;其食,粟米果蔬鱼肉。其为道易明,而其为教易行也。是故以之为己,则顺而祥;以之为人,则爱而公;以之为心,则和而平;以之为天下国家,无所处而不当。是故生则得其情,死则尽其常;郊焉而天神假,庙焉而人鬼飨。曰:“斯道也,何道也?” 曰:“斯吾所谓道也,非向所谓老与佛之道也。”尧以是传之舜,舜以是传之禹,禹以是传之汤,汤以是传之文武周公,文武周公传之孔子,孔子传之盂轲。轲之死,不得其传焉。荀与扬也,择焉而不精,语焉而不详。由周公而上,上而为君,故其事行;由周公而下,下而为臣,故其说长。

  然则如之何而可也?曰:“不塞不流,不止不行。人其人,火其书,庐其居,明先王之道以道之,鳏寡孤独废痰者有养也,其亦庶乎其可也。” (节选自韩愈《原道》)

(1)下列句中加粗词解释不正确的一项是(     )

A.几何其不而为夷也——胥:都,全。

B.戎狄是——膺:胸。

C.庙焉而人鬼——飨:享用祭品。

D.非所谓老与佛之道也——向:从前,往昔。

(2)下列句子中的“之”字用法和“夷狄之有君”的“之”字用法相同的是(     )

A.孔子之作《春秋》也

B.行而宜之

C.由是而之焉

D.以之为己

(3)以下叙述与作者所主张的“道”相悖的一项是(     )

A.灭其天常,子焉而不父其父,臣焉而不君其君,民焉而不事其事。

B.“夷狄之有君,不如诸夏之亡。”

C.“戎狄是膺,荆舒是惩。”

D.明先王之道以道之,鳏寡孤独废疾者有养也。

(4)下列关于选文的叙述和分析有误的一项是(     )

A.选文的中心意思是要推崇儒家之道,排斥道家佛家。当时从皇帝到百姓崇佛崇道成风,作者写此文是需要很大的勇气的。

B.选文从《大学》中所提倡的正心、诚意人手,论证了作者所倡导的儒家之道的内容和作用,归根结底是为封建统治者服务的。

C.选文分别从仁、义、道、德四个方面来定义作者所尊崇的“道”。作者认为这种“道”从尧至孟子代代相传,孟子死后便失传了。

D.作者所提倡的“道”的基础是礼,其作用是维系人与人之间关系的正当与平衡。作者认为,以礼来治理天下国家,不会有处理不当的地方。

(5)把文中的画线句子翻译成现代汉语。

 ①今也举夷狄之法,而加之先王之教之上。

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 ②不塞不流,不止不行。

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 ③人其人,火其书,庐其居。

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单项选择题 A3/A4型题