问题 解答题

已知函数f(x)=x2+2x+alnxa∈R.

①当a=-4时,求f(x)的最小值;

②若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围;

③当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.

答案

①∵f(x)=x2+2x-4lnx(x>0)

f′(x)=2x+2-

4
x
=
2(x+2)(x-1)
x
(2分)

当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0

∴f(x)在(0,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增

∴f(x)min=f(1)=3(4分)

f′(x)=2x+2+

a
x
=
2x2+2x+a
x
(5分)

若f(x)在(0,1)上单调增,则2x2+2x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立⇒a≥-2x2-2x恒成立

令u=-2x2-2x,x∈(0,1),则u=-2(x+

1
2
)2+
1
2
,umax=0

∴a≥0(7分)

若f(x)在(0,1)上单调减,则2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)上恒成立⇒a≤[-2x2-2x]min=-4

综上,a的取值范围是:(-∞,-4]∪[0,+∞)(9分)

③(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2alnt-3恒成立a[ln(2t-1)-2lnt]≥-2t2+4t-2⇒a[ln(2t-1)-lnt2]≥2[(2t-1)-t2](10分)

当t=1时,不等式显然成立

当t>1时,⇒a≤

2[(2t-1)-t2]
ln(2t-1)-lnt2
在t>1时恒成立(11分)

u=

2[(2t-1)-t2]
ln(2t-1)-lnt2
,即求u的最小值

设A(t2,lnt2),B(2t-1,ln(2t-1)),kAB=

ln(2t-1)-lnt2
(2t-1)-t2

且A、B两点在y=lnx的图象上,又∵t2>1,2t-1>1,故0<kAB<y'|x=1=1

u=2•

1
k
>2,故a≤2

即实数a的取值范围为(-∞,2](14分)

问答题

火电厂排放气体中含有二氧化硫、氮氧化物等大气污染物,大气污染物的研究治理对改善环境具有重要意义。

(1)煤燃烧产生的烟气(含有氮氧化物、SO2、PM2.5等),直接排放到空气中,引发的主要环境问题有                (填写字母编号)

A水体富营养化     B重金属污染       C雾霾      D酸雨

(2)将含有SO2的废气通过装有石灰石浆液的脱硫装置可以除去其中的二氧化硫,在废气脱硫的过程中,所用的石灰石浆液在进入脱硫装置前,需通一段时间的二氧化碳,以增加其脱硫效率;脱硫时控制浆液的pH值,此时浆液含有的亚硫酸氢钙可以被氧气快速氧化生成硫酸钙。写出亚硫酸氢钙被足量氧气氧化生成硫酸钙的化学方程式                 

(3)有人提出了一种利用氯碱工业产品治理含二氧化硫废气的方法,工艺流程如下:

A的化学式      ,若生成ag A,理论上可以回收SO2的质量为      g。

(4)汽车尾气中含有的氮氧化物(NOx)能形成酸雨,写出NO2转化为HNO3的化学方程式               。当尾气中空气不足时,NOX在催化转化器中被还原成N2排出,写出NO被CO还原的化学方程式            

(5)工业上常用Na2CO3溶液处理煤燃烧产生的烟气,写出SO2、NO与Na2CO3溶液反应生成Na2SO4、N2的离子方程式           

多项选择题