已知二次函数f（x）=x2+2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈

问题解答题

已知二次函数f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．

（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n}，求证：数列{a_n}为等差数列；

（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到y轴的距离构成数列{d_n}，求数列{d_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）由二次函数y=f（x）的对称轴为x=3n-10得a_n=3n-10

∵对n∈N且n≥2，有a_n-a_n-1=3

∴{a_n}为等差数列．

（Ⅱ）由题意，d_n=|a_n|，即 dn=

10-3n(1≤n≤3)

3n-10(n≥4)

∴当1≤n≤3时，Sn=

7+10-3n

•n=

17n-3n2

当n≥4时，S_n=7+4+1-（-2-5+…+10-3n）=

3n2-17n+48

∴Sn=

17n-3n2

(1≤n≤3)

3n2-17n+48

(n≥4)