∵f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

   ①，

令x=-x代入①得：f(-x)-g(-x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

，

∵f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，

∴-f(x)-g(x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

   ②，

由①②得，f(x)=x+

1

x

-

1

4

，g(x)=-x2-

1

2

，

则g(1)=-1-

1

2

=-

3

2

，

∵当x＞0时，f(x)=x+

1

x

-

1

4

≥2-

1

4

=

7

4

当且仅当x=1时取等号，且在（1，+∞）上递增，

∴1＜x₁＜x₂时，有f（x₂）＞f（x₁）＞f（1）=

7

4

，

则g（1）＜f（x₁）＜f（x₂），

故选A．