问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，数列{bn}中b1=8，bn=64bn+1．
（1）求{bn}的通项bn；
（2）证明{an}是等差数列；
（3）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有an=logabn+b成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
答案
（1）bn=64bn+1⇒
=bn+1 bn
，1 64
∴q=
，1 64
∴bn=83-2n…（3分）
（2）当n≥2时：an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2
又n=1时：a1=S1=8=6×1+2
∴an=6n+2．…（6分）
∴an-an-1=6n+2-6（n-1）-2=6
∴{an}是等差数列 …（7分）
（3）假设存在这样的a、b，使得对一切自然数n都有an=logabn+b成立，则6n+2=logabn+b=loga83-2n+b=(3-2n)loga8+b=nloga8-2+b+3loga8．
令
…（10分）6=loga8-2 2=b+3loga8
即
，a6=8-2=(
)61 2 b=2-3loga8
∴a= 1 2 b=11.
∴存在这样的数a=
，b=11．…（12分）1 2