问题
解答题
| 设正数数列{an} 的前n项和为 Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项． （1）求数列{an} 的通项公式； （2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞
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答案
（1）由已知，∵Sn是an2和an的等差中项，∴2Sn=an2+an，且an＞0．
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1．
于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，∴Sn-1005＞
，得an2 2
-1005＞n(n+1) 2
，∴n2 2
＞1005，∴n＞2010．n 2
由题设，M={2010，2012，…，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个，满足条件的最小正整数m的值为2010．