问题
问答题
设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT．求：
(1) A2;
(2) 矩阵A的特征值和特征向量．
答案
参考答案：(1) 由题设，α，β都是非零向量，且αTβ=0，则βTα=0，则
A2=(αβT)(αβT)=(βTα)αβT=0，
即A2为零矩阵．
(2) 由特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量，则Ax=λx，x≠0，由前述知A2=0，从而Ax=A·Ax=λ2x=λ2x，即λ=0，所以A的所有特征值都为0．又
不失一般性，可设a1≠0，b1≠0，则由初等行变换可化A为
由此Ax=0的基础解系为
所以A的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+knξn，其中k1，k2，…，kn是不全为O的任意常数．
解析：[考点提示] 矩阵运算、特征值和特征向量．
