问题
问答题
设向量组α1=(a，2，10)T，α2=(-2, 1，5)T，α3=(-1，1，4)T，β=(1，6，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时，
(1) β可由α1，α2，α3线性表示，且表示唯一
(2) β不能由α1，α2，α3线性表示
(3) β可由α1，α2，α3线性表示，但表示不唯一并求出一般表达式．
答案
参考答案：由题设，引入一组数k1，k2，k3，使得
k1α1+k2α2+k3α3=β，
此为关于是k1，k2，k3的非齐次线性方程组，写成矩阵乘积形式，则为
，其中
相应的增广矩阵为
利用初等行变换可将B化为阶梯形：
(1) 当
，即a≠-4时，r(A)=r(B)=3，方程组有唯一解，即β可由α1，α2，α3线性表示，且表示唯一；
(2) 当
，即a=-4时，原增广矩阵可继续化为
当3b-c≠1时，r(A)≠r(B)，方程组无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示；
(3) 当a=-4，3b-c=1时，r(A)=r(B)=2＜3，方程组有无穷多组解，即β可由α1，α2，α3线性表示，且表示不唯一，并且不难求得
k1=k，k2=-2k-b-1，k3=2b+1，其中k为任意常数，
所以β=kα1-(2k+b+1)α2+(2b+1)α3．
解析：[考点提示] 线性表示、非齐次线性方程组．