问题
问答题
设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式值大于1．
答案
参考答案：[证法1] 因为A是正定阵，故存在正交矩阵Q，使
其中λi＞0(i=1，2，…，n)，λi是A的特征值．
因此QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=A+E．
两端取行列式，得
|A+E|=|QT||A+E||Q|=|QT(A+E)Q|=|A+E|=Ⅱ(λi+1)．
从而|A+E|＞1．
[证法2] 设A的n个特征值是λ1，λ2，…，λn．由于A是正定矩阵，故特征值全大于0．
因为A+E的特征值是λ1+1，λ2+1，…，λn+1，它们全大于1，根据|A|=Ⅱλi，知
|A+E|=Ⅱ(λi+1)＞1．
解析：[考点提示] 矩阵的特征值．