（1）∵二次函数f（x）=x²+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3），

∴1-b+1=9+3b+1，∴b=-2．

（2）∵f（x）=x²-2x  +1=（x-1）²，图象关于x=1对称，

∴当x＞1时，x-1=

f(x)

，∴f（x）的反函数f^-1（x）=

x

+1 （x≥0）．

（3）由题意知，

x

+1＞m（m-

x

）在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，

即（m+1）

x

＞（m+1）（m-1） 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，

 ①当m＞-1时，有

x

＞m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，

∴

1

2

＞m-1，即 m＜

3

2

，

∴-1＜m＜

3

2

，

②当m＜-1时，有

x

＜m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，

∴

2

2

＜m-1，即 m＞1+

2

2

（舍去）

③m=-1时，不满足条件．

综上，实数m的取值范围是-1＜m＜

3

2

．