问题
问答题
设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，x1．x2是分别属于λ1和λ2的特征向量．试证明：x1+x2不是A的特征向量．
答案
参考答案：设x1+x2是A的属于某个特征值λ的特征向量．则
A(x1+x2)=λ(x1+x2)．
由已知，
Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，λ1≠λ2，
所以A(x1+x2)=Ax1+Ax2=λ1x1+λ2x2，
于是λ1x1+λ2x2=λ(x1+x2)，
从而(λ1-λ)x1+(λ2-λ)x2=0
即λ1=λ2，这与假设矛盾．
所以x1+x2不是A的特征向量．
解析：[考点提示] 可用反证法，涉及抽象矩阵的特征值、特征向量的问题时往往从定义着手分析．
[评注] 这种否定论述的命题往往用反证法证明是最方便的．