（1）据题意应为双曲线一支，

c=2，a=

2

，

∴曲线方程为x²-y²=2（x≥

2

）．（2分）

（2）设AB：y=2x+b，

将其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0…（1）

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁，x₂为（1）的两根．x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

b2+2

3

，

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1+b)(2x2+b)=5x1x2+2b(x1+x2)+b2

=5•

b2+2

3

+2b•(-

4b

3

)+b2=

10

3

，是定值．（8分）

（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，

设直线AB的方程为x=x₀，

此时A（x₀，

x 20 -2

），B（x₀，-

x 20 -2

），

OA

•

OB

=2

当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1中，

得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0

依题意可知方程1？有两个不相等的正数根，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)≥0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，

解得|k|＞1，

又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）

=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

2k2+2

k2-1

=2+

4

k2-1

＞2   

  综上可知

OA

•

OB

的最小值为2（14分）

法二：，A，B在右支，

故x₁，x₂＞0，

OA

•OB

=x1x2+y1y2=

2+y12

•

2+y22

+y1y2

=

y12+y22+2(y12+y22)+4

+y1y2

≥

y12+y22+4|y1y2|+4

+y1y2

=|y₁y₂|+2+y₁y₂≥2，y₁=-y₂时，“=”成立，

故

OA

•

OB

的最小值为2．