问题
解答题
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。
答案
解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为
．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
由
，消去y
得关于x的方程：（1+2k2）x2+8kx+6=0由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0
64k2﹣24（1+2k2）＞0解得
又由韦达定理得
∴
=
原点O到直线l的距离
∵
．
对
两边平方整理得：4S2k4+4（S2﹣4）k2+S2+24=0（*）
∵S≠0，
整理得：
又S＞0，∴
从而S△AOB的最大值为
，
此时代入方程（*）得4k4﹣28k2+49=0∴
所以，所求直线方程为：
．