设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都

问题解答题

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．

∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，

∵a＞b，∴a-b＞0，

∴f（a）+f（-b）＞0，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（-b）=-f（b），

∴f（a）-f（b）＞0，

∴f（a）＞f（b）；

（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，

又f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0，得f（9^x-2•3^x）＞-f（2•9^x-k）=f（k-2•9^x），

故9^x-2•3^x＞k-2•9^x，即k＜3•9^x-2•3^x，

令t=3^x，则t≥1，

所以k＜3t²-2t，而3t²-2t=3(t-

)2-

在[1，+∞）上递增，所以3t²-2t≥3-2=1，

所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1．