已知数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1

问题解答题

已知数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N^*，使得ak-bk∈(

，3]？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由题设可知，bn=4×(

)n-1=(

)n-3，

∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，

∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，

∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=4+(-2)+(-1)++(n-4)=4+

(n-1)(n-6)

，

∴an=

n2-7n+14

．

（Ⅱ）设cn=an-bn=

n2-7n+14

)n-3，

显然，n=1，2，3时，c_n=0，

又cn+1-cn=(n-3)+(

)n-2，

∴当n=3时，c4-c3=

，∴a4-b4=

，

当n=4时，c5-c4=

，∴a5-b5=

，

当n=5时，c6-c5=

，∴a6-b6=

＞3，

当n≥6时，cn+1-cn=(n-3)+(

)n-2＞3恒成立，

∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，

∴存在k=5，使得ak-bk∈(

，3]．