问题 解答题
已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
1
2
n-1+2(n为正整数).
(1)令bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=
n+1
n
an,若Tn=c1+c2+…+cn,求Tn
答案

(1)在Sn=-an-(

1
2
n-1+2中令n=1可得s1=-a1-1+2=a1即a1=
1
2

当n≥2时an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1
2
)n-1

∴2an=an-1+(

1
2
)n-12nan=2n-1an-1+1

∵bn=2nan

∴bn-bn-1=1即当n≥2时bn-bn-1=1

又∵b1=2a1=1

∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

bn=1+(n-1)×1=n=2nan

an=

n
2n

(2)由(1)得cn=(n+1)(

1
2
)n

Tn=2×

1
2
+3×(
1
2
)
2
+4×(
1
2
)
3
+…+(n+1)(
1
2
)
n
  ①

1
2
Tn=2×(
1
2
)
2
+3×(
1
2
)
3
+4×(
1
2
)
4
+…+(n+1)(
1
2
)
n+1
   ②

由①-②得

1
2
Tn=1+(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
-(n+1)(
1
2
)
n+1
=
3
2
-
n+3
2n

∴Tn=3-

n+3
2n

单项选择题
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