问题 问答题

一批产品需要通过检验才能出厂,检验员从产品中任取一件进行检验,取出产品为正品或次品的可能性一样.由于检验误差,一件正品被误判为次品的概率是2%,一件次品被误判为正品的概率是3%.如果一产品经检验被判为次品,那么它无需再进行二次检验;如果检验被判定为正品,那么需要对它再进行二次检验,二次检验均判定为正品的产品才判为正品.假设各次检验是相互独立的,检验员的检验水平不变.
(Ⅰ)试求对一产品进行检验,其检验次数的概率分布;
(Ⅱ)试求经二次检验均判定为正品的产品,它确实为正品的概率α;
(Ⅲ)如果独立地对100个产品进行检验,试应用中心极限定理计算检验总次数不超过150次的概率为β(Ф(0.1)=0.54).

答案

参考答案:[解答] (Ⅰ)由题设知对一产品进行检验最多检验二次,所以检验次数X可能取值为1,2,且


若记A=“取出产品为正品”,Bi=“第i次检验判定为正品”(i=1,2).
依题设


由全概公式得


所以检验次数X的概率分布为


[注] ①事件{X=2}=B1=B1B2+

,我们也可以应用全概公式计算P{X=2}.
②从上述计算知,第一次检验被判为次品,它确定为次品的概率为


(Ⅱ)

,由于各次检验是相互独立的,因此有


应用全概公式得


所以


(Ⅲ)若用Xi表示第i个产品检验所需的检验次数,则Xi与X同分布即Xi

,且Xi相互独立(i=1,2,…,100),EXi=0.495+2×0.505=1.505,EX2i=1×0.495+4×0.505=2.515,DXi=2.515-1.5052=0.25,100个产品检验总次数

,根据独立同分布中心极限定理,Y近似服从正态分布N(EY,DY)=N(150.5,25),所以

问答题
判断题