在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）试判断数列{

}是否成等差数列；
（2）设{b_n}满足b_n=

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若λa_n+

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

答案

（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），

∴a_n-1-a_n=3a_na_n-1，

∴

an-1

=3（n≥2）．

故数列{

}是等差数列．

（2）由（1）的结论可得b_n=

=1+（n-1）×3，

所以b_n=3n-2，

∴S_n=

n(1+3n-2)

n(3n-1)

．

（3）将a_n=

3n-2

代入λa_n+

an+1

≥λ并整理得λ（1-

3n-2

）≤3n+1，

∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，

原命题等价于该式对n≥2恒成立．

设C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，

则C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，C_n+1＞C_n，

∵n=2时，C_n的最小值C₂为

，

∴λ的取值范围是（-∞，

]．