问题
解答题
| 在数列an中，a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N）． （1）求证：数列{
（2）若m为正整数，当2≤n≤m时，求证：(m-n+1)(
|
答案
（I）由an+1=2an+2n+1变形得：
=an+1 2n+1
+1，即an 2n
-an+1 2n+1
=1an 2n
故数列{
}是以an 2n
=1为首项，1为公差的等差数列a1 2
（II）由（I）得an=n•2n(m-n+1)(
)n•3n an
≤1 m
即(m-n+1)(m2-1 m
)3 2
≤n m m2-1 m
令f(n)=(m-n+1)•(
)3 2
，则f(n+1)=(m-n)•(n m
)3 2 n+1 m
当m＞n≥2时，
=f(n) f(n+1)
•(m-n+1 m-n
)2 3
=(1+1 m
)•(1 m-n
)2 3
≥(1+1 m
)•(1 m-2
)2 3 1 m
又(1+
)m=1+1 m-2
•C 1m
+＞1+1 m-2
＞2＞m m-2
∴1+3 2
＞(1 m-2
)3 2 1 m
则
＞1，则f(n)为递减数列．f(n) f(n+1)
当m=n时，f（n）＞f（n+1）
∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列．
∴f(x)max=f(2)=(
)9 4
(m-1)，故只需证(1 m
)9 4
(m-1)≤1 m m2-1 m
要证：(m-n+1)(
)3 2
≤n m
即证m2-1 m
≤(9 4
)m=(1+m+1 m
)m，而m≥2时，(1+1 m
)m≥1 m
+C 0m
•C 1m
+1 m
•C 0m
=2+1 m2
•1 m2 m(m-1) 2
=2+
=2+m-1 2m
-1 2
≥2+1 2m
-1 2
=1 2×2 9 4
故原不等式成立．