（Ⅰ）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，

即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，

所以

1

an+1

-

1

an

=

3

2

所以数列{

1

an

}是以

5

2

为首项，公差为

3

2

的等差数列．                    

（II）由（Ⅰ）可得数列{

1

an

}的通项公式为

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

∴ak-ak+1=

2

3k+2

-

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．             

因为

3k2+7k+2

2

=k2 +3k+1+

k(k+1)

2

当k∈N^*时，

k(k+1)

2

一定是正整数，所以

3k2+7k+2

2

是正整数．

所以a_k-a_k+1是数列{a_n}中的项，是第

3k2+7k+2

2

项．                 

（Ⅲ）证明：由（II）知：an=

2

3n+2

，bn=

2

3

(

1

an

+5)=

2

3

(

3n+2

2

+5)=n+4．

下面用数学归纳法证明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²对任意n∈N*都成立．

（1）当n=1时，显然2⁵＞5²，不等式成立．

（2）假设当n=k（k∈N^*）时，有2^k+4＞（k+4）²，

当n=k+1时，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²

即有：2bn+1＞bn+12也成立．

综合（i）（ii）知：对任意n∈N^*，都有不等式2bn＞bn2成立．