（1）f′(x)=

a-lnx

x2

，令f'（x）=0，得x=e^a，当x∈（0，e^a）时，f'（x）＞0

函数f（x）为增函数，当x∈（e^a，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数，

故f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a，（5分）

（2）由（1）知f(x)≤

1

ea

，令a=1，

则

lnx

x

≤

1

e

，

故只需

-2k

k+1

≥-1，所以得-1＜k≤1（10分）

（3）由（1）知f（x）≤e^-a，令a=0，则有lnx≤x-1，

∵n∈N，n≥2∴lnn²≤n²-1，

∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，

故

ln22

22

+

ln32

32

++

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)++(1-

1

n2

)

=(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)＜(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)

=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

（14分）