对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+

问题解答题

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N^*，定义{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．

（1）若数列{a_n}的通项公式为an=n2-6n，分别求出其一阶差分数列{△a_n}、二阶差分数列{△²a_n}的通项公式；

（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

答案

（1）△a_n=a_n+1-a_n=[（n+1）²-6（n+1）]-（n²-6n）=2n-5…3分

△²a_n=△a_n+1-△a_n=[2（n+1）-5]-（2n-5）=2…2分

（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，

则△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ

即△a_n-a_n=2ⁿ，

∴a_n+1-a_n=a_n+2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ…2分

∴

an+1

2n+1

，

则{

}为公差是

的等差数列…2分

又

，

∴

（n-1）=

n（n∈N^*），

∴a_n=n•2^n-1…2分

∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1…①

2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ…②

①-②得：

-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ，

∴S_n=（n-1）2ⁿ+1（n∈N^*）…2分