问题 解答题

对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中an=an+1-an,n∈N*;对k≥2,k∈N*,定义{△kan}为{an}的k阶差分数列,其中kan=k-1an+1-k-1an

(1)若数列{an}的通项公式为an=n2-6n,分别求出其一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式;

(2)若数列{an}首项a1=1,且满足2an-△an+1+an=-2n,求出数列{an}的通项公式an及前n项和Sn

答案

(1)△an=an+1-an=[(n+1)2-6(n+1)]-(n2-6n)=2n-5…3分

2an=△an+1-△an=[2(n+1)-5]-(2n-5)=2…2分

(2)由△2an-△an+1+an=-2n

则△an+1-△an-△an+1+an=-2n

即△an-an=2n

∴an+1-an=an+2n,即an+1=2an+2n…2分

an+1
2n+1
=
an
2n
+
1
2

则{

an
2n
}为公差是
1
2
的等差数列…2分

a1
2
=
1
2

an
2n
=
1
2
+
1
2
(n-1)=
1
2
n(n∈N*),

∴an=n•2n-1…2分

∴Sn=1•20+2•21+3•22+4•23+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1…①

2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n…②

①-②得:

-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=

1-2n
1-2
-n•2n=2n-1-n•2n

∴Sn=(n-1)2n+1(n∈N*)…2分

单项选择题
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