问题
解答题
对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N*，定义{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．
（1）若数列{an}的通项公式为an=n2-6n，分别求出其一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式；
（2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求出数列{an}的通项公式an及前n项和Sn．
答案
（1）△an=an+1-an=[（n+1）2-6（n+1）]-（n2-6n）=2n-5…3分
△2an=△an+1-△an=[2（n+1）-5]-（2n-5）=2…2分
（2）由△2an-△an+1+an=-2n，
则△an+1-△an-△an+1+an=-2n
即△an-an=2n，
∴an+1-an=an+2n，即an+1=2an+2n…2分
∴
=an+1 2n+1
+an 2n
，1 2
则{
}为公差是an 2n
的等差数列…2分1 2
又
=a1 2
，1 2
∴
=an 2n
+1 2
（n-1）=1 2
n（n∈N*），1 2
∴an=n•2n-1…2分
∴Sn=1•20+2•21+3•22+4•23+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1…①
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n…②
①-②得：
-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=
-n•2n=2n-1-n•2n，1-2n 1-2
∴Sn=（n-1）2n+1（n∈N*）…2分
