问题
解答题
对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an,n∈N*;对k≥2,k∈N*,定义{△kan}为{an}的k阶差分数列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an.
(1)若数列{an}的通项公式为an=n2-6n,分别求出其一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式;
(2)若数列{an}首项a1=1,且满足△2an-△an+1+an=-2n,求出数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.
答案
(1)△an=an+1-an=[(n+1)2-6(n+1)]-(n2-6n)=2n-5…3分
△2an=△an+1-△an=[2(n+1)-5]-(2n-5)=2…2分
(2)由△2an-△an+1+an=-2n,
则△an+1-△an-△an+1+an=-2n
即△an-an=2n,
∴an+1-an=an+2n,即an+1=2an+2n…2分
∴
=an+1 2n+1
+an 2n
,1 2
则{
}为公差是an 2n
的等差数列…2分1 2
又
=a1 2
,1 2
∴
=an 2n
+1 2
(n-1)=1 2
n(n∈N*),1 2
∴an=n•2n-1…2分
∴Sn=1•20+2•21+3•22+4•23+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1…①
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n…②
①-②得:
-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=
-n•2n=2n-1-n•2n,1-2n 1-2
∴Sn=(n-1)2n+1(n∈N*)…2分