问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=
（n∈N*）． （1）证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{cn}的通项公式； （3）是否存在数列cn的不同项ci，cj，ck（i＜j＜k），使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项ci，cj，ck（i＜j＜k）；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由已知an≠±1，bn≠0（n∈N*）b1=
，3（1-an+12）=2（1-an2）3 4
an+12=
+1 3
an2，2 3
=bn+1 bn
(n∈N*)2 3
所以{bn}是
为首项，3 4
为公比的等比数列2 3
（2）bn=
•(3 4
)n-1(n∈N*)an2=1-bn=1-2 3
•(3 4
)n-1(n∈N*)cn=an+12-an2=2 3
•(1 4
)n-1(n∈N*)2 3
（3）假设存在ci，cj，ck满足题意成等差2cj=ci+ck代入得2•
•(1 4
)j-1=2 3
•(1 4
)i-1+2 3
•(1 4
)k-12 3
，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，这样三项不存在．2j-i+1=3j-i+2k+j-i 2j-i+1-2k+j-i=3j-i