问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
（1）求实数a的取值范围； （2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值． |
答案
（1）∵f(
)-x1+x2 2 f(x1)+f(x2) 2
=a(
)2+b(x1+x2 2
)+c-x1+x2 2 ax12+bx1+c+ax22+bx2+c 2
=-
(x1-x2)2＜0，a 4
∵x1≠x2，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
)2-2-2 a
，4 a
显然f（0）=-2，对称轴x=-
＜0．2 a
①当-2-
＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-4 a
，0)，且f[M（a）]=-4．2 a
令ax2+4x-2=-4，解得x=
，-2± 4-2a a
此时M（a）取较大的根，即M(a)=
=-2+ 4-2a a
，-2
+24-2a
∵0＜a＜2，∴M(a)=
＞-1．-2
+24-2a
②当-2-
≥-4，即a≥2时，M(a)＜-4 a
，且f[M（a）]=4．2 a
令ax2+4x-2=4，解得x=
，-2± 4+6a a
此时M（a）取较小的根，即M(a)=
=-2- 4+6a a
，-6
-24+6a
∵a≥2，∴M(a)=
≥-3．当且仅当a=2时，取等号．-6
-24+6a
∵-3＜-1∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．