定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实

问题解答题

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2^x为“1性质函数”，求x₀；
（2）判断函数f(x)=

是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数f(x)=lg

x2+1

为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

答案

（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）

（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）

∴2x0=2，∴x₀=1． …（4分）

（2）若存在x₀满足条件，

则

x0+k

即x02+kx0+k2=0，…（7分）

∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．

∴f(x)=

不能为“k性质函数”． …（10分）

（3）由条件得：lg

(x0+2)2+1

=lg

+lg

，…（11分）

即

(

+2)2+1

+1)

（a＞0），

化简得(a-5)

+4ax0+5a-5=0，…．（13分）

当a=5时，x₀=-1； …（14分）

当a≠5时，由△≥0，

16a²-20（a-5）（a-1）≥0即a²-30a+25≤0，

∴15-10

≤a≤15+10

．

综上，a∈[15-10

，15+10

] …（16分）