问题
填空题
莆田十中高三（1）研究性学习小组对函数f(x)=
下列说法中正确命题的序号是______．（填出所有正确命题的序号） ①f（x）是偶函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上的单调递减； ④f（x）没有值最大值． |
答案
因为函数f(x)=
，sinx x
∴f（-x）=
=sin(-x) -x
=-sinx -x
=f（x）．即f（x）是偶函数；①成立．sinx x
又f′（x）=
，xcosx+sinx x2
令g（x）=xcosx+sinx，得g′（x）=-xsinx，在（0，π）上，g′（x）＜0恒成立，故g（x）max＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0恒成立．
∴f（x）在区间（0，π）上的单调递减； 即③成立．
又∵y=sinx是周期为2π的函数，函数值每过2π重复出现，但y=x是一单调递增函数，
所以：f（x）不是周期函数；且f（x）没有值最大值，即②不成立，④成立．
故答案为：①③④．