解（1）由题意a_n=2+

4

3n-1

，随着n的增大而减小，所以{a_n}中的最大项为a₁=4．

（2）b_n=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)3n+(2-p)

4

，若{b_n}为等比数列，

则b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[{2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N^*），

化简得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．

反之，当p=2时，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比数列；当p=-2时，b_n=1，{b_n}也是等比数列．

所以，当且仅当p=±2时{b_n}为等比数列．

（3）因为am=2+

4

3m-1

，an=2+

4

3n-1

，ap=2+

4

3p-1

，

若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，

所以2(2+

4

3n-1

)=2+

4

3m-1

+2+

4

3p-1

，

化简得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），

因为m，n，p∈N^*，m＜n＜p，

所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，

所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，

（*）的左边≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，

右边≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，

故数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列．