问题
解答题
| 已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3， （1）求证：数列{
（2）求数列{an}的前n项的和Sn； （3）令
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答案
（1）an+1=2an+2n+2-1⇒an+1-1=2(an-1)+2n+2⇒
=an+1-1 2n+1
+2，an-1 2n
∴{
}是公差为2，首项为1的等差数列an-1 2n
（2）由（1）知：
=2n-1，an-1 2n
∴an=(2n-1)•2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1=6+（2n-3）•2n+1
∴Sn=n+6+(2n-3)•2n+1
（3）∵
=1 bn-1
=2n-1an-1 2n
∴bn=
，2n 2n-1
∵Tn=b1b2b3•…•bn
当n=1时，T1=b1=2＞
不等式成立2×1+1
假设n=k（k∈N*）不等式b1•…•bk＞
成立，2k+1
则当n=k+1时，有b1•…•bk•bk+1＞
•2k+1
=2k+2 2k+1 2k+2 2k+1
∵
=2k+2 2k+1
＞4k2+8k+4 2k+1
=4k2+8k+3 2k+1
=(2k+1)(2k+3) 2k+1 2k+3
∴b1•…•bk+1＞
即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．2(k+1)+1