（1）∵f（x）=

x

ax+b

，且f（1）=

1

2

，

∴

1

a+b

=

1

2

，即a+b=2；

又

x

ax+b

=x有且仅有一个实数解，

∴x（

1-ax-b

ax+b

）=0有且仅有一个实数解，为0．

∴b=1，a=1．

∴f（x）=

x

x+1

．

（2）由（1）知，P（x，

x

x+1

），

|AP|²=(

x

x+1

-2)2+x²

=(

-x-2

x+1

)2+x²

=(

1

x+1

+1)2+[（x+1）-1]²，

令t=

1

x+1

，

则|AP|²=t²+2t+1+(

1

t

)2-

2

t

+1

=(t-

1

t

)2+2（t-

1

t

）+4，

令r=t-

1

t

，

则|AP|²=r²+2r+4=（r+1）²+3，

∴当r=-1，即t-

1

t

=-1，t=

-1± 5

2

时，|AP|的最小值为

3

．

（3）∵x∈（

1

4

，

1

2

]，

∴x+1＞

5

4

＞0，

∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立⇔x＞m（m-x）-1恒成立⇔（1+m）x＞m²-1，

当m+1＞0，即m＞-1时，

有m-1＜x恒成立⇔m＜x+1⇔m＜（x+1）_min，

∴-1＜m＜

5

4

；

当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）_max=

3

2

，

∴此时m不存在．

综上得-1＜m＜

5

4

．