问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求a、b的值; (2)在直角坐标系中,求定点A(0,2)到函数f(x)图象上任意一点P(x,y)的距离|AP|的最小值. (3)当x∈(
|
答案
(1)∵f(x)=
,且f(1)=x ax+b
,1 2
∴
=1 a+b
,即a+b=2;1 2
又
=x有且仅有一个实数解,x ax+b
∴x(
)=0有且仅有一个实数解,为0.1-ax-b ax+b
∴b=1,a=1.
∴f(x)=
.x x+1
(2)由(1)知,P(x,
),x x+1
|AP|2=(
-2)2+x2x x+1
=(
)2+x2-x-2 x+1
=(
+1)2+[(x+1)-1]2,1 x+1
令t=
,1 x+1
则|AP|2=t2+2t+1+(
)2-1 t
+12 t
=(t-
)2+2(t-1 t
)+4,1 t
令r=t-
,1 t
则|AP|2=r2+2r+4=(r+1)2+3,
∴当r=-1,即t-
=-1,t=1 t
时,|AP|的最小值为-1± 5 2
.3
(3)∵x∈(
,1 4
],1 2
∴x+1>
>0,5 4
∴(x+1)•f(x)>m(m-x)-1恒成立⇔x>m(m-x)-1恒成立⇔(1+m)x>m2-1,
当m+1>0,即m>-1时,
有m-1<x恒成立⇔m<x+1⇔m<(x+1)min,
∴-1<m<
;5 4
当m+1<0,即m<-1时,同理可得m>(x+1)max=
,3 2
∴此时m不存在.
综上得-1<m<
.5 4