问题 解答题
已知函数f(x)=
x
ax+b
(a、b是非零实常数)满足f(1)=
1
2
,且方程f(x)=x有且仅有一个实数解.
(1)求a、b的值;
(2)在直角坐标系中,求定点A(0,2)到函数f(x)图象上任意一点P(x,y)的距离|AP|的最小值.
(3)当x∈(
1
4
1
2
]时,不等式(x+1)•f(x)>m(m-x)-1恒成立,求实数m的取值范围.
答案

(1)∵f(x)=

x
ax+b
,且f(1)=
1
2

1
a+b
=
1
2
,即a+b=2;

x
ax+b
=x有且仅有一个实数解,

∴x(

1-ax-b
ax+b
)=0有且仅有一个实数解,为0.

∴b=1,a=1.

∴f(x)=

x
x+1

(2)由(1)知,P(x,

x
x+1
),

|AP|2=(

x
x+1
-2)2+x2

=(

-x-2
x+1
)2+x2

=(

1
x+1
+1)2+[(x+1)-1]2

令t=

1
x+1

则|AP|2=t2+2t+1+(

1
t
)2-
2
t
+1

=(t-

1
t
)2+2(t-
1
t
)+4,

令r=t-

1
t

则|AP|2=r2+2r+4=(r+1)2+3,

∴当r=-1,即t-

1
t
=-1,t=
-1±
5
2
时,|AP|的最小值为
3

(3)∵x∈(

1
4
1
2
],

∴x+1>

5
4
>0,

∴(x+1)•f(x)>m(m-x)-1恒成立⇔x>m(m-x)-1恒成立⇔(1+m)x>m2-1,

当m+1>0,即m>-1时,

有m-1<x恒成立⇔m<x+1⇔m<(x+1)min

∴-1<m<

5
4

当m+1<0,即m<-1时,同理可得m>(x+1)max=

3
2

∴此时m不存在.

综上得-1<m<

5
4

单项选择题
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