（Ⅰ）当n=1时，S₁=t（S₁-a₁+1），所以a₁=t，

当n≥2时，S_n=t（S_n-a_n+1）①

S_n-1=t（S_n-1-a_n-1+1），②

①-②，得a_n=t•a_n-1，即

an

an-1

=t．

故{a_n}是首项a₁=t，公比等于t的等比数列，所以a_n=tⁿ，…（4分）

故a2=t2，a3=t3

由4a₃是a₁与2a₂的等差中项，可得8a₃=a₁+2a₂，即8t³=t+2t²，

因t＞0，整理得8t²-2t-1=0，解得t=

1

2

或t=-

1

4

（舍去），

所以t=

1

2

，故a_n=

1

2n

．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n=

2n+1

an

=（2n+1）×2ⁿ，

所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ，③

2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，④

③-④，得-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）×2ⁿ⁺¹      …（8分）

=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹…（11分）

所以T_n=2+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．…（12分）