（1）求导数可得f′（x）=x²+2bx+c

∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）关于x=1对称，∴b=-1

与x轴交点处的切线为y=4x-12，设交点为（a，0），则f（a）=0，f′（a）=4

∴在（a，0）处的切线为：y=4（x-a）+0=4x-4a=4x-12，∴4a=12，∴a=3

由f'（3）=9-6+c=3+c=4得：c=1

由f（3）=

1

3

×27-3²+3+d=0得：d=-3

所以有：f(x)=

1

3

x3-x²+x-3

（2）g(x)=x

f′(x)

=x|x-1|

当x≥1时，g（x）=x（x-1）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，函数为增函数

x＜1时，g（x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，最大为g（

1

2

）=

1

4

比较g（m）=m（m-1）与

1

4

得：m≥

1+ 2

2

时，m（m-1）≥

1

4

因此，0＜m≤

1

2

时，g（x）的最大值为m-m²；

1

2

＜m≤

1+ 2

2

时，g（x）的最大值为

1

4

；

m＞

1+ 2

2

时，g（x）最大值为m²-m

（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，

当x∈[0，1]时，h（x）=2ln（1-x）

此时不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立

则有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）

∴0＜t-x＜-2x-1，

可得t＞x且t＜-x-1，

又由x∈[0，1]，

则有-1＜t＜0