（I）令x=y=0，得f（0）=0．

又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．

∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．

∴f（x）为奇函数．       （3分）

（II）∵{x_n}满足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2n

=

2

1 xn +xn

＜

2

2

=1，

∴0＜x_n＜1．

∴f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2n

)=f[

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

]=f(xn)-f(-xn)．

∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，

∴f（-x_n）=-f（x_n）

∴f（x_n+1）=2f（x_n），即

f(xn+1)

f(xn)

=2．

∵{f（x_n）}是以f(x1)=f(

1

2

)=1为首项，以2为公比的等比数列．

∴f（x_n）=2^n-1．                                                    （5分）

（III）Tn=

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．

假设存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，

有Tn＜

m-4

3

成立，

即2-

1

2n-1

＜

m-4

3

对n∈N^*恒在立．

只需

m-4

3

≥2，即m≥10．

故存在正整数m，使得对n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立．

此时m的最小值为10．                                       （5分）