（Ⅰ）属于M_D．

事实上，对任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|≤2|x₁-x₂|，

故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈M_D．

（Ⅱ）∵f(x)=

x+1

在[0，+∞）为增函数

∴对任意x₁，x₂∈[0，+∞）有|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|=|

x1+1 - x2+1

(x1+1)-(x2+1)

|=

1

x1+1 + x2+1

＜

1

2

（当x₁=0，x₂→0时取到），所以k≥

1

2

，此即为所求．

（Ⅲ）存在．

事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于M_D．

∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0⇒t=-

b

k

，

又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx

若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．

设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，

①若k≥1，则

由h(

π

k

)=sinπ-ksin

π

k

＜0，

且h(

3π

2

)=sin

3kπ

2

-ksin

3π

2

=sin

3kπ

2

+k≥0，

所以，在[

π

k

，

3π

2

]中另有一根，矛盾．

②若

1

2

＜k＜1，

则h(

π

k

)=sinπ-ksin

π

k

≥0，h[2π]=sin2kπ-ksin2π＜0，

所以在[

π

k

，2π]中另有一根，矛盾．∴0＜k≤

1

2

．

以下证明，对任意k∈(0，

1

2

]，g(x)=kx符合题意．

（ⅰ）当x∈(0，

π

2

]时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx

∴h（x）＞0．

（ⅱ）当x∈(

π

2

，

π

2k

]时，sinkx＞sin

kπ

2

≥ksin

π

2

≥ksinx∴h(x)＞0．

（ⅲ）当x∈(

π

2k

，2π)时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．

从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，

1

2

]满足题意．

综上所述：k∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]，b=0为所求．